Il barbiere di Russell
In uno sperduto villaggio di una sperdutissima isola delle Salomone, esiste un solo barbiere. Egli è l'unico abitante che rade esclusivamente tutti coloro che non si radono da soli. Ma... chi farà la barba al barbiere del villaggio?
La risposta più plausibile potrebbe essere che il barbiere si rada da solo; ma, così facendo, si contraddice la premessa che lui rade esclusivamente quanti non si radono da soli. D'altra parte se scegliamo come risposta che lui non si rada da solo... allora si contraddice la premessa che lui deve radere tutti quelli che non si radono da soli.
Una situazione contraddittoria, un paradosso, una reductio ad absurdum... insomma un giochino logico.
Il fatto è che questo "giochino", inventato da Bertrand Russell nel 1918, presenta una struttura logica identica a quella di un altro paradosso russelliano: quello dell'insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi proposto da Russell nel 1901. X è l'insieme di tutti gli insiemi A che non contengono se stessi come elemento.
Questo paradosso fu segnalato da Russell, a Gottlob Frege, un logico-matematico tedesco che si occupava di dare basi logiche all'aritmetica, proprio alla vigilia della pubblicazione di una sua poderosa opera: Le leggi fondamentali dell'aritmetica. Dopo quella segnalazione... Frege non pubblicò più nulla di significativo...
L'obiettivo di Frege era quello di dare una definizione dei numeri naturali ... Cos'é il numero "4"? Semplicissimo!!!... l'insieme che ha come elementi le quattro ruote di un'auto, o l'insieme delle foglie di un quadrifoglio, o anche l'insieme dei vertici di un rettangolo hanno tutti la medesima proprietà della "quadruplicità", per Frege, dunque, il numero "4" è l'insieme di tutti gli insiemi che posseggono la proprietà della "quadruplicità"... Se quest'idea vi richiama alla memoria qualcosa di Platone... forse non è un caso.
Quell' Insieme di tutti gli insiemi sembrava a Russell una nota stonata e per questo ideò il paradosso; ed aveva ragione, quell'idea creava delle situazioni contraddittorie e non poteva essere perciò utilizzata in un processo di sistemazione logica dell'aritmetica. Ma esistono insiemi X come quello descritto?
I bibliotecari, prima dell'invasione informatica, registravano i libri delle loro biblioteche in cataloghi che poi rilegavano in libri che facevano parte essi stessi della biblioteca. C'erano bibliotecari che inserivano il nome del catalogo all'interno del catalogo medesimo, in quanto esso stesso libro della biblioteca ed altri che non lo facevano. Se consideriamo un catalogo del secondo tipo come un insieme, i cui elementi sono i nomi dei libri in esso elencati, ecco che... compare un insieme A.
Ora conoscevo un bibliotecario, un po' bizzarro e un po' megalomane che aveva deciso di redigere due cataloghi planetari, uno con i nomi di tutti i cataloghi che citavano sé stessi nei propri elenchi e un altro con i nomi di tutti quei cataloghi che non si autocitavano.
Un giorno andai a fargli visita e lo trovai seduto al suo scrittoio, barba lunga di un paio di giorni, posacenere pieno di cicche, cravatta allentata sul collo, un bicchiere vuoto con accanto una bottiglia di bourbon semivuota, gli occhi rossi e spiritati, atmosfera di disordine per tutta la stanza. Mi fissò con aria attonita e quando dopo qualche secondo si rese conto che ero io... mi chiese, farfugliando le parole: il nome del catalogo dei cataloghi che si autoreferenziano l'ho scritto nello stesso catalogo, ma l'altro, l'altro nome, quello del catalogo dei cataloghi che non si autoreferenziano... in quale dei due potrò scriverlo? e ripiombò nel suo stato di catatonia.(l.b.)
Ultima revisione il 27-01-2023